Suite de l'article du 15 février 2008 .

La bande de Moëbius, nous l'avons entraperçu, est une surface (de projection) qui n'a qu'un seul bord, ou un seul pli. Ceci nous permet de représenter par un croquis l'annonce d'une intention qu'il faut nier. "Je ne pense pas du tout à vous frapper..." ou " Je ne veux rien dire... Mais tu devrais... " ou encore "Je ne dis pas que tu me casses les pieds..." pour parler poliment. Au moment même où la pensée vient à la bouche avec ses mots, le fait que nous la prenions pour inacceptable nous fait tordre la phrase en ajoutant une négation. "Crois-moi, mon amour, je n'ai aucunement l'intention de te tromper !" Ce à quoi l'être averti répond "mais je ne t'ai rien demandé ."

Notre mécanisme psychique, (façon de parler), ne retient les éléments que dans leur forme positive. Sur une plaquette d'argile, je ne peux inscrire que des signes gravés au stylet. Comment puis-je me souvenir qu'il me manque dix brebis sinon en traçant dix bâtons plus une grande ligne qui les barre tous ?
Le gouvernement a prévenu pendant quinze jours "qu'il n'y aura pas de plan de rigueur." Les media ont volontiers pris le relais au point que la phrase était dans toutes les bouches à longueur de journée. Rien de mieux pour nous habituer à l'idée qu'il va falloir se serrer la ceinture. Nous attendons ce dont nous nous souvenons : "il y aura un plan de rigueur !" Et quand bien même on ne l'appellerait pas comme ça ! Nous y sommes et ça ne fait pas encore de vagues...

Une autre surface topologique me passionne intensément. C'est la surface torique. C'est une chambre à air sans trou. L'espace y est confiné comme dans une sphère. Il n'y a aucun bord à cette surface et donc elle a deux faces. Ce qui est dedans est un autre monde auquel nous n'avons pas accès. Peut-être y a-t-il un gaz très méchant. Ou peut-être que le temps y est inversé. On ne sait.
Là où c'est intéressant, c'est que, à la différence de la sphère, le tore, ou l'anneau, est traversé par le monde sans que ne se forme un bord. Autrement dit, il est troué mais sans déchirure, ni pli, ni bordure. Je peux passer mon doigt dans l'anneau sans abîmer ni mon doigt ni l'anneau. Et pourtant, je n'explore pas le monde intérieur du tore.

Alors je me dis qu'il faut faire un trou dans le tore. Un trou ! Je pourrais couper la chambre à air comme un saucisson, ce qui ferait d'un seul coup deux bords. J'enlève une rondelle de caoutchouc.
Je pourrais découper un rond de la taille d'une grande rustine et cela ne ferait qu'un seul bord. Dans les deux cas, ce qui m'intéresse tient au fait que le caoutchouc peut alors se retourner comme un gant. Et la face externe devient interne ou réciproquement. Mais, car il y a un mais ! Le retournement est évident s'il manque la tranche de saucisson, par contre il n'est pas évident s'il n'y a qu'une découpe en forme de grosse rustine. Avec la chambre à air, même si le caoutchouc est extêmement fin et souple, ce n'est pas du tout possible. Nous ne pouvons pas le représenter avec la géométrie euclidienne que nous avons l'habitude d'utiliser. Il nous faut la théorie de la topologie qui est une manière de représenter des phénomènes jusque là impossibles à saisir.

Le bord, dans cette discipline, est parfaitement élastique.
Sur le tore, ce trou peut s'étirer jusqu'à former une grande fente qui laisse juste un petit pont pour ne pas former deux bords. Puis, cette fente s'élargit, en respectant ce petit pont qui devient une lanière. Là, on peut imaginer la chambre à air découpée de la moitié de sa hauteur sur tout le tour sauf sur la lanière qui reste. En passant le doigt sur le bord de la découpe, nous pouvons faire tout ce tour, puis remonter sur la lanière et refaire tout le tour jusqu'à la lanière. Il n'ya bien qu'un seul bord.
Cette découpe peut s'agrandir encore jusqu'à laisser une petite bande en contact avec la table sur laquelle était posé l'ensemble. On l'imagine... Il reste donc un anneau à plat sur la table et un anneau qui lui est perpendiculaire. Tout ça est élastique et nos deux anneaux plats se croisent sur en petit carré qu'ils ont en commun. On peut se représenter deux petites bandes en papier, collées pour faire les anneaux, et assemblés entre elles par un point de colle qui les maintient perpendiculaires. On peut voir aussi deux maillons de chaîne soudés et très aplatis.

A quoi ça sert ? Nous avons une surface qui n'a qu'un seul bord. Mais elle a deux faces distinctes, contrairement à la bande de Moëbius.
Si l'intérieur était rose, et l'extérieur vert, nous pouvons voir les petits anneaux plats qui restent soudés avec ces couleurs agencées dans une parfaite symétrie.L'un est vert avec le rose dedans qui passe la soudure carrée en devenant le rose extérieur de l'anneau jumeau dont on voit qu'il est rose dehors et vert dedans.
L'extérieur du tore initial était vert ai-je dit. Si je me saisis de l'anneau rose à l'extérieur pour l'agrandir tout autour de son jumeau, comme si je reformais un saucisson arrondi jusqu'à faire rejoindre les deux bouts, si je refais  donc l'opération détaillée qui précède mais à l'inverse, j'obtiens un tore rose avec un trou comme une rustine.
Le tore était vert. Il est rose. Il s'est retourné comme un doigt de gant.

Imaginons que le rose intérieur du début était un papier peint sur le point de se décoller. Nous aurions bien la représentation de deux tores l'un dans l'autre. Troués comme précédement, ils peuvent se retourner et celui qui entourait le plus petit est maintenant entouré à son tour. Le tore encerclé est devenu le tore encerclant. S'il y en avait trois, par le retournement, ils renverseraient aussi la hiérarchie des enfermements. Mais pour ça, il faut qu'ils soient troués.

Une image toute simple illustrée par l'espace torique. (Surtout qu'il ne devienne pas torride !) L'enfant est protégé de toute part dans l'enveloppe familiale que protège me semble-t-il la mère, laquelle est théoriquement protégée par le père, dans un shéma de tradition judéo-chrétienne. Bien sûr le monde traverse l'ensemble sans laisser de trace quand tout va pour le mieux. Les espace toriques sont l'un dans l'autre. Si aucun trou ne leur donne de l'air, ne serait-ce qu'un peu, dès la maternelle pour le plus petit, c'est l'asphyxie. L'enfant restera dans les jupes...Et le Tangy aura du mal à décoller.
S'il y a des trous plus ou moins élastiques, les tores pourront s'inverser et s'envelopper mutuellement dans une alternance salutaire suivant les impératifs de la vie. Les enfants deviennent souvent parents quand l'âge des parents avance. La maladie de l'un modifie les enveloppes... L'urgence, l'accident, la situation professionnelle, autant de situations où les attentions réciproques s'inversent.

Cette démonstration n'est qu'un début, et pour ceux que ça intéresse, je cherche à réaliser des animations topologiques pour que la représentation soit plus facile. Comme ça, je comprends que ce soit un peu soporifique.
Toutes mes excuses à ceux qui n'ont pas pu...

Lien : http://www.mathcurve.com/surfaces/tore/tore.shtml